13.9. Тригонометрическое уравнение
Решите уравнение $cos^2(x)-2 \cdot cos(7x)+1=0.$
Данное уравнение решается путём частичной замены. Эту задачу я взял из сборника подготовки к ЕГЭ по профильной математике Мирошина. Надо отметить, что такие тригонометрические уравнения с отбором корней под заданный промежуток крайне часто встречаются в ЕГЭ по профильной математике. Первым делом пытался решить путем сведения кратных углов к более низким коэффициентам, повышая при этом степени тригонометрических функций. Однако это сопровождалось высокими степенями уравнение, решать которое методом «угадывания» корней по теореме Безу и дальнейшем делении многочлен на многочлен казалось весьма затруднительным. Авторы сборника предлагают нам очень красивый метод. Единственное, непонятно, конечно, как до него догадаться самостоятельно. Авторы предлагают рассмотреть уравнение как квадратное относительно первой степени косинуса, оставив при это косинус от 7х как коэффициент, после чего чудесным образом получается, что дискриминант указанного уравнения может быть положительным лишь при определённых весьма удобных нам ограничениях на cos(7x).
